Un pendule est constitué d'un objet auquel on accroche un fil inextensible (ou une chaîne), lui-même accroché à un point fixe. Sous l'effet du poids le fil est tendu.
Si le fil est très léger par rapport à l'objet, et que la longueur du fil est très grande devant les dimensions de l'objet, alors on a un "pendule simple". C'est ce cas-là qui nous intéresse.

(vous pouvez construire un pendule simple avec un clou, du fil de pêche et une boule de pétanque).

              O: point fixe
-plafond------+---------------
               \
                \
                 \
fil inextensible  \
          !        \
          !         \
          +--------->\
objet                 \
   !                   \
   +-------------------># M

Si on écarte le pendule de sa position de repos, qu'on le tient immobile et qu'on le lâche, il ne met à osciller. Le fil, ainsi que le centre de masse de l'objet, restent dans un plan.

La période T des oscillations est donnée par la relation:

               ----------
              /    L
  T = 2 PI   /     -
           \/      g
avec:

• L : distance entre le point fixe et le centre de masse de l'objet, souvent confondue avec la longueur du fil;
  
• g : intensité de la pesanteur
  
• PI: la constante mathématique
  

Lors de l'expérience de Foucault en 1851, le pendule est constitué d'une sphère de bronze de masse m = 28 kg et d'un fil d'acier de longueur L = 67 m, de diamètre 1,4 mm.

(On constate que l'on peut considérer que c'est un pendule simple.)

Si on lance ce pendule, on constate qu'il oscille, la période étant égale à 16,5 s, l'amplitude au sol, initialement de 6 m, est rendue négligeable en 6h par les frottements de l'air.


En construisant un cercle avec du sable, on peut visualiser où passe le pendule.

Si le rayon du cercle est petit, on constate que le pendule passe et repasse toujours aux mêmes points, donc la trajectoire semble bien comprise dans un plan.
Mais si on agrandit le cercle, on constate... que ce plan semble tourner lentement autour d'un axe vertical contenant le point fixe.
Et si on l'agrandit encore plus on finit par observer qu'il y a un décalage entre chaque aller et retour !

Si on mesure la période de rotation T_p du "plan" (ATTENTION, ce n'est pas ici la période d'oscillation T du pendule...) en faisant l'expérience sous plusieurs latitudes, on s'aperçoit que T_p est reliée à la période de rotation de la Terre T_0, par la relation suivante [démontrée dans l'annexe 2 de cet article]:

             T_0
  T_p = -------------   lambda étant la latitude.
         sin(lambda)

Par exemple si lambda = 49° (Paris) alors T_p = 32h .
Le plan tourne dans le sens des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord, et dans l'autre sens dans l'hémisphère Sud.
Comment expliquer ce phénomène?

Quand on étudie le pendule simple, on se place dans un référentiel galiléen, par exemple le référentiel du sol.

Les forces exercées sur l'objet massif de masse m sont:

* le poids _P de direction verticale, de sens vers le bas, d'intensité
      P = m g;
* la tension du fil _T, de direction celle du fil, dirigée vers le fil

Et aucune autre.

Si ça tourne, c'est donc:

• soit on a oublié une ou plusieurs forces;
• soit on a utilisé un référentiel non galiléen.

La Terre tourne sur elle-même, le sol avec elle. Donc le sol n'est pas galiléen.

Dans un référentiel non galiléen, il existe des "pseudo-forces", appelées aussi "forces "d'inertie", qu'on doit prendre en compte dans le décompte des forces:

• la force d'inertie d'entraînement par translation;
• la force d'inertie d'entraînement par rotation;
• la force de Coriolis

Les deux premières existent même pour des objets au repos, et sont constantes. De fait, on les inclut dans la définition du poids (et au passage voilà pourquoi le poids et la force de gravitation sont différentes).

C'est la dernière, à laquelle sont soumis les objets en mouvement par rapport aux référentiels non galiléens, qui est responsable de la lente rotation du plan d'oscillation du pendule.
[Une approche de la nature de la force de Coriolis est accessible dans l'annexe 1 de cet article].

L'effet de la force de Coriolis est résumé par la loi de Coriolis:

"Tout mobile à la surface de la Terre est dévié vers sa droite dans l'hémisphère Nord, et vers sa gauche dans l'hémisphère Sud."

Donc: si on est dans l'hémisphère Nord, et que le pendule oscille d'est en Ouest, l'objet va être légèrement dévié vers le Nord pendant une demi-période.

En conséquence, le plan... n'en n'est plus un, la trajectoire réelle est représentée sur l'image suivante:

Toutefois, l'intensité de cette force est inversement proportionnelle à la période de rotation de la Terre, et cette dernière est grande car la Terre tourne lentement sur elle-même, donc la force de Coriolis aura des petits effets.
En conséquence, la trajectoire sera quasiment contenue dans un plan. Mais au fil des déviations ce plan tourne.

Historiquement, l'expérience de Foucault a permis de trancher définitivement entre deux hypothèses:

• l'univers tourne autour de la Terre;
• c'est la Terre qui tourne sur elle-même.

Observer les effets d'une force de Coriolis montre que le référentiel d'étude tourne sur lui-même; l'expérience de Foucault a donc permis de trancher: c'est la Terre qui tourne sur elle-même.

Ci-dessous quelques lieux communs faux que l'on entend souvent à propos du pendule de Foucault.

A aucun moment le pendule oscille dans un plan! La trajectoire (vue de dessus) de l'objet massif ressemble plutôt à une rosette. Mais comme la Terre tourne lentement, chaque pétale de la rosette est très aplati est ressemble fortement à un segment de droite. Donc on assimile la trajectoire à ces segments de droite.

Voici une figure qui montre ce qui se passerait pour un pendule (irréalisable) de longueur 10 km, sur une Terre tournant à 10^-2 rad/s (!):

Et pour un pendule de longueur 10 km, sur une Terre tournant 10 fois moins vite:

On constate que si la rotation de la Terre devient assez lente, la trajectoire du pendule est quasiment une succession de plans.

Tiens? D'accord, alors supposons que le pendule soit lancé au départ de telle façon qu'il oscille du Nord au Sud (plan parallèle à l'axe de rotation de la Terre). Laissons à la Terre le temps d'effectuer un quart de tour sur elle-même. Si le plan garde une direction fixe dans le référentiel de Copernic, alors... mais oui, bien sûr, il est alors parallèle au sol, et le pendule oscille ... horizontalement!!!! Chercher l'erreur.

Les erreurs sont: que le "point fixe" ne l'est pas du tout dans le référentiel de Copernic, et que, de plus, la condition initiale d'immobilité de l'objet massif n'est pas respectée (puisque l'objet suit alors le mouvement de la Terre)!