La Foire Aux Questions de fr.sci.physique : mn0005

Le pendule de Foucault permet de montrer la nature purement cinématique de la force de Coriolis.
Pour cela on se place au pôle Nord. Pourquoi au pôle Nord? Eh bien tout simplement que le pôle Nord est immobile par rapport au référentiel géocentrique.

Du coup on peut se placer dans ce dernier référentiel, supposé galiléen, et observer ce qui s'y passe.

Dans le référentiel géocentrique on a un pendule simple. Si on se débrouille pour le lâcher sans vitesse initiale alors la masse se met à osciller dans un plan, un vrai, immobile par raport aux étoiles fixes (si on néglige la révolution de la Terre autour du Soleil).

Que se passe-t-il alors pour un observateur lié à la Terre, qui tourne sur elle-même? Eh bien ... le plan d'oscillation semble tourner sur lui-même, d'est en ouest, comme si la masse du pendule subissait une force le déviant vers sa droite... la pseudo-force de Coriolis.

On voit que les effets de cette "force" n'existent que si on est dans le référentiel terrestre, non galiléen, et sont dus uniquement à la rotation de la Terre.

Hypothèses:

on postule que le mouvement de la masse du pendule est inscrit dans un plan horizontal (ce qui est cohérent à 20 cm près, donc l'erreur est négligeable devant la longueur du pendule, 67 m);
l'angle maximal d'écart par rapport à la verticale est petit:
sin(angle) = angle
cos(angle) = 1

(D.L. au premier ordre des fonctions trigonométriques).

Comme repère on choisit {O, ex, ey, ez} orthonormé tel que:

le vecteur unitaire ez soit dans la direction du poids et de sens tourné vers les étoiles;
le vecteur unitaire ex soit dirigé vers le sud;
le vecteur unitaire ey soit dirigé vers l'est;

La masse a pour coordonnées M(x; y; z).

Dans la suite du calcul, les composantes des vecteurs sont exprimées dans la base {ex, ey, ez}.

Le vecteur W vitesse angulaire de rotation de la Terre:

( - w cos lat) W =( 0 ) ( + w sin lat) avec:

w la vitesse angulaire de rotation de la Terre (7,27E-5 rad.s^-1)
lat l'angle de latitude, pris positif dans l'hémisphère nord, et négatif dans l'hémisphère sud.

La force de Coriolis:

         ( +w sin(lat) (dy/dt) ) Fc = 2 m ( -w sin(lat) (dx/dt) )          ( +w cos(lat) (dy/dt) )
La force de rappel T:

    ( - |T| x / L ) T = ( - |T| y / L )     ( + |T| )
Le poids P de la masse:

    (   0   ) P = (   0   )     ( - m g )
On applique la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel terrestre, non galiléen (d'où l'apparition de la force de Coriolis):

Fc + P + T = 0.

Alors:

m d^2(x)/dt^2 = +2m w sin(lat) (dy/dt)- |T|/L x m d^2(y)/dt^2 = -2m w sin(lat) (dx/dt)- |T|/L y m d^2(z)/dt^2 = +2m w cos(lat) (dy/dt)+ |T|/L - m g
La troisième équation, compte tenu de l'hypothèse de l'altitude constante, se traduit par, en négligeant la force de Coriolis, très petite davant les autres:

|T| = m g.

Alors, les deux autres équations deviennent:

d^2(x)/dt^2 = +2w sin(lat) (dy/dt)- g/L x (1) d^2(y)/dt^2 = -2w sin(lat) (dx/dt)- g/L y (2)
Si on néglige le terme de Coriolis, on retrouve deux équations découplées de type oscillateur harmonique, donc... le pendule simple.

Mais il faut résoudre le système complet, qui est linéaire, mais dont les équations sont couplées par la force de Coriolis.

Pour cela on écrit l'équation complexe (1) + j(2) avec j tel que j^2=-1.

d^2(x + jy)/dt^2 = w sin(lat) d(y - jx)/dt - g/L (x+ jy)
On remarque que y - jx = -j(x+jy), et alors:

d^2(x + jy)/dt^2 = - 2jw sin(lat) d(x+ jy)/dt - g/L (x+ jy)
soit, en posant c = x+ jy :

d^2(c)/dt^2 + 2jw sin(lat) dc/dt + g/L c = 0
C'est une équation différentielle à coefficients complexes.

Discriminant réduit:
delta=-(w sin(lat))^2 - g/l      =-(w sin(lat)^2 + g/l)
Solution:
En posant s = w sin(lat) il vient:

c(t) =    A exp[ (-js - j racine(s^2+g/l)) t ]         + B exp[ (-js + j racine(s^2+g/l)) t ]

On néglige s^2 devant g/l, i.e. on néglige ~ 10^-8 devant ~ 10^-1, ce qui est logique.

Alors, l'expression de c(t) se simplifie et devient:

c(t) =    A exp[ (-js - j racine(g/l)) t ]         + B exp[ (-js + j racine(g/l)) t ]

On se donne comme conditions initiales, par exemple,

A t=0: x = X_m y = 0 dx/dt = 0 dy/dt = 0 Cela revient à écrire:
c(0) = X_m (dc/dt)(0) = 0 D'où:

A + B = X_m A (-js - j racine(g/l)) + B (-js + j racine(g/l)) = 0

La deuxième équation peut s'écrire:

(A + B) (-js) + j(B-A) racine (g/l) = 0
Soit:

-X_m * js + j (B - A ) racine (g/l) = 0
ou:

B - A = s X_m / racine (g/l)
Alors:

A = 1/2 X_m (1 - s / racine (g/l) ) B = 1/2 X_m (1 + s / racine (g/l) )
Or s< donc: A ~ 1/2 X_m B ~ 1/2 X_m On a alors l'expression de c(t): c(t)=1/2 X_m exp[ (-s - j racine(g/l)) t ]     +1/2 X_m exp[ (-s + j racine(g/l)) t ] =1/2 X_m exp(-js t) [exp(-j racine(g/l) t)+exp(+j racine(g/l) t)] =1/2 X_m exp(-js t) [2 cos (racine(g/l) t)] = X_m exp(-js t) cos (racine(g/l) t) Alors, en prenant x(t)= Re(c) et y(t)=Im(c) il vient: x(t) = X_m cos(st) cos(racine(g/l)t) y(t) = -X_m sin(st) cos(racine(g/l)t) Ou, en remplaçant s par sa valeur: x(t) = X_m cos((w sin lat) t) cos(racine(g/l)t) y(t) = -X_m sin((w sin lat) t) cos(racine(g/l)t) Le pendule oscille avec la pulsation racine(g/l), quasiment dans un plan de direction donnée par le vecteur de composantes: X_m cos((w sin lat) t) -X_m sin((w sin lat) t) On constate que ce vecteur tourne avec la vitesse angulaire (w sin lat) constante autour de l'origine du repère, dans le sens des aiguilles d'une montre, et accomplit 1 tour (donc 1 période) au bout du temps: T = 2 PI / (w sin lat). Comme 2PI/ w = T_0 (la période de rotation de la Terre), il vient: